Tổng hợp các dạng bài tập đạo hàm (2018)

  Mar 16, 2018      2m
   

Tổng hợp bài tập đạo hàm

Tổng hợp các dạng bài tập đạo hàm (2018)

Lý thuyết đạo hàm

Tham khảo: Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm

Bài tập đạo hàm

Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài toán 1: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm - dạng 1

Phương pháp chung:

Cho hàm số: .

Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm , ta xác định:


Ví dụ 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số:

tại điểm

Giải:

Ta có: .

Ví dụ 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số:

tại điểm

Giải:

Ta có:

Ví dụ 3: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số:

tại điểm .

Giải:

Ta có:

.

Với , ta được: .

Với , bằng phép đổi biến , ta được:

.

Do đó: .

Bài tập:

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số sau đây tại điểm x_0:

  1. với .
  2. với .
  3. với .
  4. với .
  5. với .
  6. với .
  7. với .
  8. với .
  9. với .
  10. với .
  11. với . Viết phương trình của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm .

Bài toán 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm - dạng 2

Phương pháp chung:

Cho hàm số:

  • khi .
  • khi .

Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm , ta xác định:


Ví dụ 1: Cho hàm số:

  • khi .
  • khi . a. Chứng minh rằng liên tục tại . b. Tính đạo hàm, nếu có, của tại điểm

Giải:

a. Ta có: Vậy, hàm số liên tục tại .

b. Ta có:

Ví dụ 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số:

  • khi .
  • khi . tại điểm .

Giải:

Hàm số xác định trong một lân cận của .

Ta có: .

Ta có:

  • Với mọi thuộc lân cận của điểm 0 luôn có:
    • || || || ||.
  • Mặt khác ||||.

Suy ra: .

Bài tập:

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số tại :

  1. khi , khi .
  2. khi , khi .
  3. khi , khi .
  4. khi , khi .
  5. khi , khi .

Bài toán 3: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm - dạng 3

Phương pháp chung:

Cho hàm số: khi khi .

Tính đạo hàm hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số có đạo hàm tại điểm , ta thực hiện theo các bước sau:

  • Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm .
  • Bước 2: (Đạo hàm bên trái) Tính:
  • Bước 3: (Đạo hàm bên phải) Tính:
  • Bước 4: Đánh giá hoặc giải , từ đó đưa ra lời kết luận.

Ví dụ 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số: khi khi tại điểm .

Giải:

Ta lần lượt có:

  • Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm .
  • Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm .

Nhận xét rằng: .

Vậy hàm số có đạo hàm tại điểm .

Ví dụ 2: Cho hàm số: khi khi . Tìm a, b để có đạo hàm tại điểm .

Giải:

Để hàm số có đạo hàm tại điểm , trước hết phải liên tục tại , do đó:

Biểu thức (1)

  • Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm .
  • Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm .

Biểu thức (2)

Hàm số có đạo hàm tại điểm khi và chỉ khi .

Thay (2) vào (1), ta được .

Vậy, hàm số có đạo hàm tại điểm , nếu và chỉ nếu , .

Bài tập:

  1. Tìm , để hàm số sau có đạo hàm tại điểm : khi khi .
  2. Tìm để hàm số sau có đạo hàm tại : khi khi .
  3. Tìm để hàm số sau có đạo hàm tại : khi khi .
  4. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số: $$f(x) = \frac{x}{1-x}x = 0$$.
  5. Cho hàm số ||. Chứng minh rằng hàm số liên tục tại nhưng không có đạo hàm tại điểm này.
  6. Cho hàm số: ||.
    • a. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm .
    • b. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm .

Bài toán 4: Tính đạo hàm của hàm số trên một khoảng - dạng 4

Phương pháp chung:

Để tính đạo hàm của hàm số: trên khoảng (a,b) bằng định nghĩa, ta thực hiện các bước sau:

  • Bước 1: Tính . Lập tỉ số .
  • Bước 2: Tìm .

Chú ý:

  1. Cần lưu ý rằng trong các phép tính này, điểm x coi như cố định còn thì tiến tới 0.
  2. Nếu khoảng (a,b) bằng đoạn [a,b], ta thực hiện theo các bước sau.
    1. Tính đạo hàm của hàm số trong khoảng (a,b).
    2. Tính đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm a.
    3. Tính đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm b.

Ví dụ 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số: .

Giải:

Cho x một số gia , ta có:

Do đó:

Vậy, ta được .

Ví dụ 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số: .

Giải:

Cho x một số gia , ta có:

Do đó:

Vậy, ta được .

Ví dụ 3: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số: .

Giải:

Cho x một số gia , ta có:

Do đó:

Bài tập:

Bài tập 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. $$f(x) = c$$, với c là hằng số.

b. $$f(x) = x$$.

c. $$f(x) = x^3$$.

d. $$f(x) = x^{n}$$, với $$n  \geq 2, n  \in N$$.

Bài tập 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. $$f(x) = 2x + 3$$.

b. $$f(x) = x^2 + x + 1$$.

c. $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x - 1$$.

Bài tập 3: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. $$f(x) = \frac{1}{x}$$.

b. $$f(x) = \frac{x + 1}{x}$$.

c. $$f(x) = \frac{x - 1}{x + 1}$$.

d. $$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$$.

Bài tập 4: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. $$f(x) = \sqrt{2x + 1}$$.

b. $$f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$$.

c. $$f(x) = \sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}$$.

d. $$f(x) = \sqrt{x^2 - 1} - \sqrt{x}$$.

Bài tập 5: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. $$f(x) = sin2x$$.

b. $$f(x) = sinx - cosx$$.

c. $$f(x) = tgx - cotgx$$.

d. $$f(x) = sinx.cos2x$$.

Bài tập 6: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. $$f(x) = x.sin2x$$.

b. $$f(x) = x.cotgx$$.

Bài tập 7: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. $$f(x) = e^x$$.

b. $$f(x) = e^{2x + 1}$$.

c. $$f(x) = a^x$$.

d. $$f(x) = 2018^x$$.

Bài tập 8: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. $$f(x) = lnx$$.

b. $$f(x) = ln(x^2 + 1)$$.

c. $$f(x) = log_2(x + 1)$$.

d. $$f(x) = log_x(x^2 + 1)$$.

Bài toán 5: Sử dụng ý nghĩa hình học của đạo hàm

Phương pháp chung:

Sử dụng các kết quả:

  • Hệ số góc của cát tuyến với đường cong , biết M, N theo thứ tự có hoàng độ được cho bởi:
  • Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số tại điểm là:

Ví dụ 1: Tìm hệ số góc của cát tuyến với đường cong , biết:

a. $$(C): y = x^2 - 2x$$ và hoành độ M, N theo thứ tự là $$x_M = 2, x_N = 1$$.

b. $$(C): y = \frac{x^2 + x + 1}{x}$$ và hoành độ M, N theo thứ tự là $$x_M = 1$$, $$x_N = 3$$.

Giải:

Gọi là hệ số góc của cát tuyến với đường cong .

a. Ta có ngay:

b. Ta có ngay:

Ví dụ 2: Cho đường cong: .

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong :

a. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1.

b. Biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng $$(\Delta): x - 4y + 3 = 0$$.

Giải:

Hàm số .

a. Từ điều kiện hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1, ta được:

Khi đó, phương trình tiếp tuyến có dạng:

b. Đường thẳng có hệ số góc .

Tiếp tuyến của song song với đường thẳng nên có hệ số góc , do đó:

Khi đó, phương trình tiếp tuyến có dạng:

*Bài tập**:

Bài tập 1: Tìm hệ số góc của cát tuyến với đường cong , biết:

a. $$(C): y = x^2 - x + 1$$ và hoành độ M, N theo thứ tự là $$x_M = 1$$, $$x_N = 2$$.

b. $$(C): y = x^3 - x$$ và hoành độ M, N theo thứ tự là $$x_M = 0$$, $$x_N = 3$$.

c. $$(C): y = \frac{x-1}{x+1}$$ và hoành độ M, N theo thứ tự là $$x_M = 0$$, $$x_N = 2$$.

d. $$(C): y = \frac{x^2 + x}{x - 1}$$ và hoành độ M, N theo thứ tự là $$x_M = -4$$, $$x_N = -1$$.

Bài tập 2: Cho đường cong: .

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong :

a. Tại điểm $$M(2,4)$$.

b. Tại điểm có hoành độ bằng 1.

c. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2.

Bài tập 3: Cho đường cong: .

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong :

a. Tại điểm $$M(-1,-1)$$.

b. Tại điểm có hoành độ bằng 3.

c. Tại giao điểm của $$(C)$$ với trục hoành.

d. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

Bài tập 4: Cho đường cong: .

a. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số tại $$x_0 = 1$$.

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $$(C)$$ tại điểm có hoành độ bằng 1.

Hãy like share FB của ad để nhận thông tin về những bài post mới nha ^^: Minh

Các bài toán trong bài post của ad được lấy từ cuốn sách cực kỳ hay của tác giả Lê Hồng Đức - Nhóm Cự Môn, các bạn nên mua cuốn sách đó về học sẽ rất hay và có nhiều nội dung nâng cao. Các hình chụp về sách:

Sách toán lớp 11

Sách toán lớp 11

Các bạn có thể thảo luận các bài tập không đưa đáp án ở mục bình luận bên dưới :D.

Tham khảo thêm: