Tổng hợp các dạng bài tập đạo hàm (2018)
Tổng hợp bài tập đạo hàm
Lý thuyết đạo hàm
Tham khảo: Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm
Bài tập đạo hàm
Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Bài toán 1: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm - dạng 1
Phương pháp chung:
Cho hàm số: \(y = f(x)\).
Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0\), ta xác định:
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0 }(\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0})\]Ví dụ 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số:
\(f(x) = x^2 + 4x\) tại điểm \(x_0 = 2\)
Giải:
Ta có: \(f'(2) = \lim_{x\to 2 }(\frac{f(x) - f(2)}{x-2}) = \lim_{x\to 2 }(\frac{(x^2+4x) - 12}{x-2}) = \lim_{x\to 2 }(x+6) = 8\).
Ví dụ 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số:
\(f(x) = \sqrt{2x+7}\) tại điểm \(x_0 = 1\)
Giải:
Ta có:
\[f'(1) = \lim_{x\to 1}(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}) = \lim_{x\to 1}(\frac{\sqrt{2x+7}-3}{x-1}) = \lim_{x\to 1}(\frac{2x+7-9}{(x-1)(\sqrt{2x+7}+3)}) = \lim_{x\to 1}(\frac{2}{(x-1)(\sqrt{2x+7}+3)}) = \frac{1}{3}\]Ví dụ 3: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số:
\(f(x) = x^2 - sinx\) tại điểm \(x_0 = \frac{\pi}{2}\).
Giải:
Ta có: \(f'(\frac{\pi}{2}) = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}(\frac{f(x)-f(\frac{\pi}{2})}{x-\frac{\pi}{2}}) = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}(\frac{x^2-sinx-\frac{\pi^2}{4}+1}{x-\frac{\pi}{2}})\)
\(=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}(x+\frac{\pi}{2})+\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}(\frac{1-sinx}{x-\frac{\pi}{2}}) = L_1 + L_2\).
Với \(L_1\), ta được: \(L_1 = \pi\).
Với \(L_2\), bằng phép đổi biến \(t=\frac{\pi}{2}-x\), ta được:
\(L_2 = \lim_{t\to 0}(\frac{1-sin(\frac{\pi}{2}-t)}{-t}) = -\lim_{t\to 0}(\frac{1-cos(t)}{t}) = -\lim_{t\to 0}(\frac{2t.sin^2(\frac{t}{2})}{4(\frac{t}{2})^2}) = 0\).
Do đó: \(f'(\frac{\pi}{2}) = \pi\).
Bài tập:
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số sau đây tại điểm x_0:
- \(f(x)=x+2\) với \(x_0=6\).
- \(f(x)=x^3+2x^2-2x+1\) với \(x_0=-1\).
- \(f(x)=\frac{1}{x-1}\) với \(x_0=2\).
- \(f(x)=\frac{2x-3}{x-1}\) với \(x_0=3\).
- \(f(x)=\sqrt{3x+4}\) với \(x_0=-1\).
- \(f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\) với \(x_0=0\).
- \(f(x)=sinx+cos2x\) với \(x_0=0\).
- \(f(x)=tgx+cotgx\) với \(x_0=\frac{\pi}{4}\).
- \(f(x)=e^x+1\) với \(x_0=1\).
- \(f(x)=2^x-3^(2x)\) với \(x_0=0\).
- \(y=f(x)=sinx\) với \(x_0=0\). Viết phương trình của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm \(x_0=0\).
Bài toán 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm - dạng 2
Phương pháp chung:
Cho hàm số:
- \(f(x) = f_1(x)\) khi \(x \neq x_0\).
- \(f(x) = f_2(x)\) khi \(x = x_0\).
Để tính đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0\), ta xác định: \(f'(x_0) = \lim_{x\to x_0 }(\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}) = \lim_{x\to x_0 }(\frac{f_1(x) - f_2(x_0)}{x-x_0})\)
Ví dụ 1: Cho hàm số:
- \(f(x) = \frac{1-\sqrt{1-x}}{x}\) khi \(x \neq 0\).
- \(f(x) = \frac{1}{2}\) khi \(x = 0\). a. Chứng minh rằng \(f(x)\) liên tục tại \(x=0\). b. Tính đạo hàm, nếu có, của \(f(x)\) tại điểm \(x=0\)
Giải:
a. Ta có: \(\lim_{x\to 0 }f(x) = \lim_{x\to 0 }(\frac{1-\sqrt{1-x}}{x})\) \(= \lim_{x\to 0 }(\frac{1-(1-x)}{x(1+\sqrt{1-x})}) = \lim_{x\to 0 }(\frac{1}{1+\sqrt{1-x}}) = \frac{1}{2} = f(0)\) Vậy, hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x=0\).
b. Ta có: \(f'(0) = \lim_{x\to 0 }(\frac{f(x)-f(0)}{x-0}) = \lim_{x\to 0 }(\frac{\frac{1-\sqrt{1-x}}{x}-\frac{1}{2}}{x}) = \lim_{x\to 0 }(\frac{2-x-2\sqrt{1-x}}{2x^2})\) \(= \lim_{x\to 0 }(\frac{1}{2(2-x+2\sqrt{1-x})}) = \frac{1}{8}\)
Ví dụ 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số:
- \(f(x) = x^2cos\frac{1}{x}\) khi \(x \neq 0\).
- \(f(x) = 0\) khi \(x = 0\). tại điểm \(x_0=0\).
Giải:
Hàm số \(f(x)\) xác định trong một lân cận của \(x_0=0\).
Ta có: \(f'(0) = \lim_{x\to 0}(\frac{f(x)-f(0)}{x-0}) = \lim_{x\to 0}(x.cos\frac{1}{x})\).
Ta có:
- Với mọi \(x \neq 0\) thuộc lân cận của điểm 0 luôn có:
- |\(xcos\frac{1}{x}\)|\(\leq\) |\(x\)| \(\Leftrightarrow -\)|\(x\)| \(\leq xcos\frac{1}{x} \leq\)|\(x\)|.
- Mặt khác \(\lim_{x\to 0}(-\)|\(x\)|\() = \lim_{x\to 0}(\)|\(x\)|\() = 0\).
Suy ra: \(\lim_{x\to 0}(xcos\frac{1}{x}) = 0 \Rightarrow f'(0) = 0\).
Bài tập:
Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số tại \(x_0=0\):
- \(f(x) = \frac{sin^2x}{x}\) khi \(x \neq 0\), \(f(x) = 0\) khi \(x=0\).
- \(f(x) = \frac{1-cos2x}{x}\) khi \(x \neq 0\), \(f(x) = 0\) khi \(x=0\).
- \(f(x) = x^2cos\frac{1}{x}\) khi \(x \neq 0\), \(f(x) = 0\) khi \(x=0\).
- \(f(x) = \frac{tgx}{x}\) khi \(x \neq 0\), \(f(x) = 1\) khi \(x=0\).
- \(f(x) = \frac{\sqrt{x+4}-2}{x}\) khi \(x \neq 0\), \(f(x) = \frac{1}{4}\) khi \(x=0\).
Bài toán 3: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm - dạng 3
Phương pháp chung:
Cho hàm số: \(f(x) = f_1(x)\) khi \(x < x_0\) và \(f(x) = f_2(x)\) khi \(x \geq x_0\).
Tính đạo hàm hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số có đạo hàm tại điểm \(x_0\), ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm \(x_0\).
- Bước 2: (Đạo hàm bên trái) Tính: \(f'({x_0^-}) = \lim_{x\to {x_0^-}}(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0})\)
- Bước 3: (Đạo hàm bên phải) Tính: \(f'({x_0^+}) = \lim_{x\to {x_0^+}}(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0})\)
- Bước 4: Đánh giá hoặc giải \(f'({x_0^-}) = f'({x_0^+})\), từ đó đưa ra lời kết luận.
Ví dụ 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số: \(y = f(x) = e^x\) khi \(x \geq 0\) và \(y = f(x) = x^2 + x + 1\) khi \(x<0\) tại điểm \(x_0 = 0\).
Giải:
Ta lần lượt có:
- Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm \(x_0=0\).
- Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm \(x_0=0\).
Nhận xét rằng: \(f'(0^-)=f'(0+)=1\).
Vậy hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x_0=0\) và \(f'(0)=1\).
Ví dụ 2: Cho hàm số: \(f(x) = x^2\) khi \(x \leq 1\) và \(f(x) = ax + b\) khi \(x > 1\). Tìm a, b để \(f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x=1\).
Giải:
Để hàm số \(f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x=1\), trước hết \(f(x)\) phải liên tục tại \(x = 1\), do đó:
Biểu thức (1)
\[\lim_{x\to 1^-}(f(x)) = \lim_{x\to 1^+}(f(x)) = f(1) \Leftrightarrow a + b = 1 \Leftrightarrow b = 1 - a\]- Đạo hàm bên trái của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(x=1\).
- Đạo hàm bên trái của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(x=1\).
Biểu thức (2)
Hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x=1\) khi và chỉ khi \(f'(1^-) = f'(1^+) \Leftrightarrow a = 2\).
Thay (2) vào (1), ta được \(b = -1\).
Vậy, hàm số có đạo hàm tại điểm \(x = 1\), nếu và chỉ nếu \(a = 2\), \(b = -1\).
Bài tập:
- Tìm \(a\), \(b\) để hàm số sau có đạo hàm tại điểm \(x = 1\): \(f(x) = x^2\) khi \(x \leq 1\) VÀ \(f(x) = -x^2 + ax + b\) khi \(x > 1\).
- Tìm \(a\) để hàm số sau có đạo hàm tại \(x = 0\): \(f(x) = e^x\) khi \(x \geq 0\) VÀ \(f(x) = x^2 + a\) khi \(x < 0\).
- Tìm \(a\) để hàm số sau có đạo hàm tại \(x = 0\): \(f(x) = (x+1)e^{-x}\) khi \(x > 0\) và \(f(x) = -x^2 - ax + 1\) khi \(x \leq 0\).
- Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số: f(x) = x / (1-|x|) tại điểm \(x = 0\).
- Cho hàm số \(y =\)|\(x-1\)|. Chứng minh rằng hàm số liên tục tại \(x = 1\) nhưng không có đạo hàm tại điểm này.
- Cho hàm số: \(y =\)|\(x^2 + 4x + 3\)|.
- a. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0 = -1\).
- b. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0 = -3\).
Bài toán 4: Tính đạo hàm của hàm số trên một khoảng - dạng 4
Phương pháp chung:
Để tính đạo hàm của hàm số: \(y = f(x)\) trên khoảng (a,b) bằng định nghĩa, ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Tính \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)\). Lập tỉ số \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\).
- Bước 2: Tìm \(\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\).
Chú ý:
- Cần lưu ý rằng trong các phép tính này, điểm x coi như cố định còn \(\Delta x\) thì tiến tới 0.
- Nếu khoảng (a,b) bằng đoạn [a,b], ta thực hiện theo các bước sau.
- Tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) trong khoảng (a,b).
- Tính đạo hàm bên phải của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm a.
- Tính đạo hàm bên trái của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm b.
Ví dụ 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số: \(f(x) = \sqrt x\).
Giải:
Cho x một số gia \(\Delta x\), ta có:
\[\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = \sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x} \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x} = \frac{x + \Delta x - x}{\Delta x(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}\]Do đó:
\[\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]Vậy, ta được \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
Ví dụ 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số: \(f(x) = cos2x\).
Giải:
Cho x một số gia \(\Delta x\), ta có:
\[\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = cos2(x + \Delta x) - cos2x \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{cos2(x + \Delta x) - cos2x}{\Delta x} = -\frac{2sin(2x + \Delta x).sin\Delta x}{\Delta x}\]Do đó:
\[\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} [-2sin(2x + \Delta x).\frac{sin\Delta x}{\Delta x}] = -2sin2x\]Vậy, ta được \(f'(x) = -2sin2x\).
Ví dụ 3: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số: \(f(x) = 2000^x\).
Giải:
Cho x một số gia \(\Delta x\), ta có:
\[\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) = 2000^{x + \Delta x} - 2000^x \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2000^{x + \Delta x} - 2000^x}{\Delta x} = 2000^{x}.\frac{2000^{\Delta x} - 1}{\Delta x} = 2000^{x}.ln2000.\frac{e^{\Delta x ln2000} - 1}{\Delta x.ln2000}\]Do đó:
\[\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = 2000^{x}.ln2000 \Rightarrow y' = 2000^{x}.ln2000\]Bài tập:
Bài tập 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:
a. $$f(x) = c$$, với c là hằng số.
b. $$f(x) = x$$.
c. $$f(x) = x^3$$.
d. $$f(x) = x^{n}$$, với $$n \geq 2, n \in N$$.
Bài tập 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:
a. $$f(x) = 2x + 3$$.
b. $$f(x) = x^2 + x + 1$$.
c. $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x - 1$$.
Bài tập 3: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:
a. $$f(x) = \frac{1}{x}$$.
b. $$f(x) = \frac{x + 1}{x}$$.
c. $$f(x) = \frac{x - 1}{x + 1}$$.
d. $$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$$.
Bài tập 4: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:
a. $$f(x) = \sqrt{2x + 1}$$.
b. $$f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$$.
c. $$f(x) = \sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}$$.
d. $$f(x) = \sqrt{x^2 - 1} - \sqrt{x}$$.
Bài tập 5: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:
a. $$f(x) = sin2x$$.
b. $$f(x) = sinx - cosx$$.
c. $$f(x) = tgx - cotgx$$.
d. $$f(x) = sinx.cos2x$$.
Bài tập 6: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:
a. $$f(x) = x.sin2x$$.
b. $$f(x) = x.cotgx$$.
Bài tập 7: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:
a. $$f(x) = e^x$$.
b. $$f(x) = e^{2x + 1}$$.
c. $$f(x) = a^x$$.
d. $$f(x) = 2018^x$$.
Bài tập 8: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:
a. $$f(x) = lnx$$.
b. $$f(x) = ln(x^2 + 1)$$.
c. $$f(x) = log_2(x + 1)$$.
d. $$f(x) = log_x(x^2 + 1)$$.
Bài toán 5: Sử dụng ý nghĩa hình học của đạo hàm
Phương pháp chung:
Sử dụng các kết quả:
- Hệ số góc \(k\) của cát tuyến \(MN\) với đường cong \((C): y = f(x)\), biết M, N theo thứ tự có hoàng độ \(x_M, x_N\) được cho bởi:
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(M_0(x_0, f(x_0))\) là:
Ví dụ 1: Tìm hệ số góc của cát tuyến \(MN\) với đường cong \((C)\), biết:
a. $$(C): y = x^2 - 2x$$ và hoành độ M, N theo thứ tự là $$x_M = 2, x_N = 1$$.
b. $$(C): y = \frac{x^2 + x + 1}{x}$$ và hoành độ M, N theo thứ tự là $$x_M = 1$$, $$x_N = 3$$.
Giải:
Gọi \(k\) là hệ số góc của cát tuyến \(MN\) với đường cong \((C)\).
a. Ta có ngay:
\[k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_M) - f(x_N)}{x_M - x_N} = \frac{(2^2 - 2.2) - (1^2 - 2.1)}{2 - 1} = 1\]b. Ta có ngay:
\[k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_M) - f(x_N)}{x_M - x_N} = \frac{\frac{1^2 + 1 + 1}{1} - \frac{3^2 + 3 + 1}{3}}{1 - 3} = \frac{2}{3}\]Ví dụ 2: Cho đường cong: \((C): y = \sqrt{x}\).
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \((C)\):
a. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1.
b. Biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng $$(\Delta): x - 4y + 3 = 0$$.
Giải:
Hàm số \(y = \sqrt{x}\) có \(y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
a. Từ điều kiện hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1, ta được:
\[\frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 <=> \sqrt{x} = \frac{1}{2} <=> x = \frac{1}{4}\]Khi đó, phương trình tiếp tuyến có dạng:
\[(d): y - y(\frac{1}{4}) = 1.(x - \frac{1}{4}) <=> (d): y - \frac{1}{2} = x - \frac{1}{4} <=> (d): y = x + \frac{1}{4}\]b. Đường thẳng \((\Delta)\) có hệ số góc \(k = \frac{1}{4}\).
Tiếp tuyến của \((C)\) song song với đường thẳng \((\Delta)\) nên có hệ số góc \(k = \frac{1}{4}\), do đó:
\[\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{4} <=> \sqrt{x} = 2 <=> x = 4\]Khi đó, phương trình tiếp tuyến có dạng:
\[(d) y - y(4) = \frac{1}{4}.(x-4) <=> (d): 4(y-2) = x - 4 <=> (d): x - 4y + 4 = 0\]*Bài tập**:
Bài tập 1: Tìm hệ số góc của cát tuyến \(MN\) với đường cong \((C)\), biết:
a. $$(C): y = x^2 - x + 1$$ và hoành độ M, N theo thứ tự là $$x_M = 1$$, $$x_N = 2$$.
b. $$(C): y = x^3 - x$$ và hoành độ M, N theo thứ tự là $$x_M = 0$$, $$x_N = 3$$.
c. $$(C): y = \frac{x-1}{x+1}$$ và hoành độ M, N theo thứ tự là $$x_M = 0$$, $$x_N = 2$$.
d. $$(C): y = \frac{x^2 + x}{x - 1}$$ và hoành độ M, N theo thứ tự là $$x_M = -4$$, $$x_N = -1$$.
Bài tập 2: Cho đường cong: \((C): y = x^2\).
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \((C)\):
a. Tại điểm $$M(2,4)$$.
b. Tại điểm có hoành độ bằng 1.
c. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2.
Bài tập 3: Cho đường cong: \((C): y = x^3\).
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \((C)\):
a. Tại điểm $$M(-1,-1)$$.
b. Tại điểm có hoành độ bằng 3.
c. Tại giao điểm của $$(C)$$ với trục hoành.
d. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
Bài tập 4: Cho đường cong: \((C): y = \frac{x + 2}{x - 2}\).
a. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số tại $$x_0 = 1$$.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $$(C)$$ tại điểm có hoành độ bằng 1.
Hãy like share FB của ad để nhận thông tin về những bài post mới nha ^^: Minh
Các bài toán trong bài post của ad được lấy từ cuốn sách cực kỳ hay của tác giả Lê Hồng Đức - Nhóm Cự Môn, các bạn nên mua cuốn sách đó về học sẽ rất hay và có nhiều nội dung nâng cao. Các hình chụp về sách:
Các bạn có thể thảo luận các bài tập không đưa đáp án ở mục bình luận bên dưới :D.
Các bài viết tham khảo thêm về Toán học:
- Đạo hàm là gì? Ý nghĩa của đạo hàm
- Vi phân là gì? Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng
- Giới hạn của hàm số - lim
- Đạo hàm cấp cao và các công thức đạo hàm thường gặp
- Ý nghĩa của Tích Vô Hướng
- Trị riêng và vector riêng của ma trận
- Số phức là gì? Giải thích dễ hiểu về số phức
- Tổng hợp các dạng bài tập đạo hàm (2018)
- Đo góc của hai vector. Ứng dụng: Đo độ tương tự của 2 vector - cosine similarity
- Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
- Cách tính và ý nghĩa ma trận hiệp phương sai (covariance matrix)
- Tổng hợp các bài post toán học
