Trị riêng và vector riêng của ma trận

  Oct 6, 2017      2m      0   

 

Định nghĩa và cách tính trị riêng, vector riêng của một ma trận.

Trị riêng và vector riêng

1. Định nghĩa:

Cho một ma trận vuông A kích thước \(n \times n\), vector cột v có kích thước \(n \times 1\) và một số vô hướng \(\lambda\). Nếu \(Av = \lambda v\) thì \(v\) là vector riêng của A và \(\lambda\) là trị riêng của A.

2. Cách tìm trị riêng, vector riêng:

• Để tìm trị riêng và vector riêng, ta giải phương trình sau:

\(det |A-\lambda I| = 0\)  (1)

• Trong đó \(I\) là ma trận đơn vị.

3. Ví dụ:

• Cho ma trận A như sau:

\[A=\begin{bmatrix} 5 & 2 \\[0.3em] 9 & 2 \end{bmatrix}\]

• Theo (1), ta cần giải phương trình sau:

\[\begin{aligned} det|a-\lambda I| &= det \Bigg|\begin{bmatrix} 5 & 2 \\[0.3em] 9 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\[0.3em] 0 & \lambda \end{bmatrix} \Bigg| = det \Bigg| \begin{bmatrix} 5-\lambda & 2 \\[0.3em] 9 & 2-\lambda \end{bmatrix} \Bigg| \\ &= (5-\lambda)(2-\lambda)-18 = \lambda^2-7\lambda-8=(\lambda-8)(\lambda+1) = 0 \end{aligned}\]

• Ta có 2 trị riêng như sau: \(\lambda_1=8,\lambda_2=-1\)
  • Với \(\lambda_1=8\):

  \(\begin{aligned} Av &= \begin{bmatrix} 5 & 2 \\[0.3em] 9 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\[0.3em] y \end{bmatrix} = 8 \begin{bmatrix} x \\[0.3em] y \end{bmatrix} \\ &\Rightarrow \begin{bmatrix} 5x+2y \\[0.3em] 9x+2y \end{bmatrix} = 8 \begin{bmatrix} x \\[0.3em] y \end{bmatrix} \end{aligned}\) (2)

  • Từ (2), ta có \(y=3x/2\). Ta chọn \(x = 2, y= 3\). Do đó vector riêng ứng với \(\lambda_1=8\) sẽ là:
  \[\Rightarrow v_1= \begin{bmatrix} 2 \\[0.3em] 3 \end{bmatrix}\]

Chú ý: do (2) là hệ phương trình thuần nhất nên có vô số nghiệm.

Tương tự với \(\lambda_2=-1\):

\[\Rightarrow v_2= \begin{bmatrix} 1 \\[0.3em] -3 \end{bmatrix}\]

4. Hiện thực:

Đoạn code sau sử dụng thư viện numpy của python để tìm trị riêng và vector riêng của một ma trận:

  import numpy as np
  from numpy import linalg as la

  w, v = la.eig(np.array([[5,2],[9,2]]))

  # Danh sách trị riêng
  print("Eigenvalues: ")
  print(w)
  # Danh sách vector riêng
  print("Eigenvectors: ")
  print(v)

Kết quả:

  Eigenvalues
  [ 8. -1.]
  Eigenvectors:
  [[ 0.5547002  -0.31622777]
  [ 0.83205029  0.9486833 ]]

---

Các bài viết tham khảo thêm về Toán học:

• Đạo hàm là gì? Ý nghĩa của đạo hàm
• Vi phân là gì? Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng
• Giới hạn của hàm số - lim
• Đạo hàm cấp cao và các công thức đạo hàm thường gặp
• Ý nghĩa của Tích Vô Hướng
• Trị riêng và vector riêng của ma trận
• Số phức là gì? Giải thích dễ hiểu về số phức
• Tổng hợp các dạng bài tập đạo hàm (2018)
• Đo góc của hai vector. Ứng dụng: Đo độ tương tự của 2 vector - cosine similarity
• Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
• Cách tính và ý nghĩa ma trận hiệp phương sai (covariance matrix)
• Tổng hợp các bài post toán học

Thanh Nguyen

Share this:

      

• #toan