Trị riêng và vector riêng của ma trận

  Oct 6, 2017      2m
   

Định nghĩa và cách tính trị riêng, vector riêng của một ma trận.

Trị riêng và vector riêng của ma trận

Trị riêng và vector riêng

1. Định nghĩa:

Cho một ma trận vuông A kích thước \(n \times n\), vector cột v có kích thước \(n \times 1\) và một số vô hướng \(\lambda\). Nếu \(Av = \lambda v\) thì \(v\) là vector riêng của A và \(\lambda\) là trị riêng của A.

2. Cách tìm trị riêng, vector riêng:

  • Để tìm trị riêng và vector riêng, ta giải phương trình sau:

\(det |A-\lambda I| = 0\)  (1)

  • Trong đó \(I\) là ma trận đơn vị.

3. Ví dụ:

  • Cho ma trận A như sau:
\[A=\begin{bmatrix} 5 & 2 \\[0.3em] 9 & 2 \end{bmatrix}\]
  • Theo (1), ta cần giải phương trình sau:
\[\begin{aligned} det|a-\lambda I| &= det \Bigg|\begin{bmatrix} 5 & 2 \\[0.3em] 9 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\[0.3em] 0 & \lambda \end{bmatrix} \Bigg| = det \Bigg| \begin{bmatrix} 5-\lambda & 2 \\[0.3em] 9 & 2-\lambda \end{bmatrix} \Bigg| \\ &= (5-\lambda)(2-\lambda)-18 = \lambda^2-7\lambda-8=(\lambda-8)(\lambda+1) = 0 \end{aligned}\]
  • Ta có 2 trị riêng như sau: \(\lambda_1=8,\lambda_2=-1\)
    • Với \(\lambda_1=8\):

    \(\begin{aligned} Av &= \begin{bmatrix} 5 & 2 \\[0.3em] 9 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\[0.3em] y \end{bmatrix} = 8 \begin{bmatrix} x \\[0.3em] y \end{bmatrix} \\ &\Rightarrow \begin{bmatrix} 5x+2y \\[0.3em] 9x+2y \end{bmatrix} = 8 \begin{bmatrix} x \\[0.3em] y \end{bmatrix} \end{aligned}\) (2)

    • Từ (2), ta có \(y=3x/2\). Ta chọn \(x = 2, y= 3\). Do đó vector riêng ứng với \(\lambda_1=8\) sẽ là:
    \[\Rightarrow v_1= \begin{bmatrix} 2 \\[0.3em] 3 \end{bmatrix}\]

Chú ý: do (2) là hệ phương trình thuần nhất nên có vô số nghiệm.

Tương tự với \(\lambda_2=-1\):

\[\Rightarrow v_2= \begin{bmatrix} 1 \\[0.3em] -3 \end{bmatrix}\]

4. Hiện thực:

Đoạn code sau sử dụng thư viện numpy của python để tìm trị riêng và vector riêng của một ma trận:

  import numpy as np
  from numpy import linalg as la

  w, v = la.eig(np.array([[5,2],[9,2]]))

  # Danh sách trị riêng
  print("Eigenvalues: ")
  print(w)
  # Danh sách vector riêng
  print("Eigenvectors: ")
  print(v)

Kết quả:

  Eigenvalues
  [ 8. -1.]
  Eigenvectors:
  [[ 0.5547002  -0.31622777]
  [ 0.83205029  0.9486833 ]]

Các bài viết tham khảo thêm về Toán học: