Số phức là gì? Giải thích dễ hiểu về số phức

  Dec 5, 2017      2m

 

Share

 

Số phức là gì? Số thực có thể được hình dung là những giá trị trong không gian 1 chiều, còn số phức chính là những giá trị nằm trong không gian 2 chiều gồm: trục thực và trục ảo.

Số phức

Định nghĩa số phức

Số phức có dạng $a + bi$

• a, b là các số thực
• i là đơn vị ảo

Với $i^2 = -1$

Nếu ta lấy phần thực của số phức thì đó là a. Nếu ta lấy phần ảo của số phức thì đó là b.

Ví dụ số phức:

• 2 + 3i –> phần thực: 2, phần ảo: 3
• 4 - 2i
• -5 + i
• -6 - 4i
• 1.2 + 5.1i
• 4.4 = 4.4 + 0i –> trong trường hợp này, hệ số b của đơn vị ảo bằng 0

Vậy ta có thể thấy rằng số phức là trường hợp tổng quát hơn của số thực. Số thực là 1 trường hợp cụ thể của số phức (khi b = 0). Để dễ hình dung nhất về số phức. Ta tiến hành so sánh và minh họa cụ thể chúng trong không gian 2 chiều trong phần tiếp theo.

Điểm khác giữa số phức và số thực

Tự nhiên thêm đơn vị ảo i vào làm chi không biết (=__=), làm ta rất khó hình dung nếu chỉ nhìn cách biểu diễn con số phức và các công thức tính toán của nó. Nào ta hãy cùng biểu diễn / visualize con số phức đó lên không gian 2 chiều (mặt phẳng) cho dễ tưởng tượng nhé!

Như hình minh họa trên, trục x (trục hoành) biểu diễn cho phần thực, còn trục y (trục tung) biểu diễn cho phần ảo. Những con số thực mà ta tính toán trước kia sẽ giống như $r_3$, $r_5$ được biểu diễn như trên hình trong không gian phức.

$$(z_6)^2 = (0 - 2i)^2 = (-2i)^2 = 4i^2 = 4(-1) = -4 = r_5$$

Dạng lượng giác của số phức

$z = r(cos \varphi + isin \varphi) = rcos \varphi + r*i*sin \varphi$

với r là 1 số thực, $\varphi$ là góc.

So sánh với định nghĩa, ta thấy rằng:

• Phần thực: $a = rcos \varphi$
• Phần ảo: $b = rsin \varphi$

Điểm đặc biệt là số phức ở dạng lượng giác được biểu diễn theo độ dài vector (r) và góc của vector ($\varphi$).

Xem Z là điểm có tọa độ $(rcos \varphi, rsin \varphi)$.Thật vậy: $| \overrightarrow{OZ} | = \sqrt{(rcos \varphi)^2 + (rsin \varphi)^2} = \sqrt{(r^2((cos \varphi)^2 + (sin \varphi)^2)} = \sqrt{(r^2(1)} = r$

Góc tạo bởi OZ và Ox là:

$$\arctan (\frac{Z_y}{Z_x}) = \arctan (\frac{rsin \varphi}{rcos \varphi}) = \arctan (tan \varphi) = \varphi$$

Với ví dụ hình minh họa ở mục trên, số phức $z_1 = 2 + 2i$ sẽ được biểu diễn ở dạng lượng giác là: $r = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$

$$\varphi = \arctan (\frac{2}{2}) = \frac{\pi}{4}$$ $$z_1 = 2\sqrt{2}(cos \frac{\pi}{4} + isin \frac{\pi}{4})$$

Nếu thấy hay và dễ hiểu, hãy share cho các bạn cùng lớp nhé! (^^)

---

Các bài viết tham khảo thêm về Toán học:

• Đạo hàm là gì? Ý nghĩa của đạo hàm
• Vi phân là gì? Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng
• Giới hạn của hàm số - lim
• Đạo hàm cấp cao và các công thức đạo hàm thường gặp
• Ý nghĩa của Tích Vô Hướng
• Trị riêng và vector riêng của ma trận
• Số phức là gì? Giải thích dễ hiểu về số phức
• Tổng hợp các dạng bài tập đạo hàm (2018)
• Đo góc của hai vector. Ứng dụng: Đo độ tương tự của 2 vector - cosine similarity
• Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
• Cách tính và ý nghĩa ma trận hiệp phương sai (covariance matrix)
• Tổng hợp các bài post toán học

Minh Nguyen

Share this:

      

• #toan