Ý nghĩa của Tích Vô Hướng

  Mar 21, 2018      2m
   

Cách tính toán tích vô hướng của 2 vector và phân tích ý nghĩa của nó.

Ý nghĩa của Tích Vô Hướng

Tích vô hướng

Định nghĩa đại số:

.

Ví dụ:

.

.

.

Định nghĩa hình học:

.

với:

  • ||: độ lớn vector a
  • ||: độ lớn vector b
  • : góc tạo bởi 2 vector a và b

(Tham khảo: Tích vô hướng - Wikipedia)

Ý nghĩa tích vô hướng

Tích vô hướng là tích của: độ lớn của vector và độ lớn của phép chiếu vô hướng (vuông góc) của vector còn lại lên nó.

Cho các vector 2 chiều: . Theo định nghĩa hình học ta có:

.

Nếu ta chiếu vuông góc lên , ta sẽ thấy rằng || chính là độ lớn của hình chiếu của trên .

Chiếu vuông góc 2 vector. Nguồn ảnh: Wikipedia

Ngược lại, nếu ta chiếu vuông góc lên , ta sẽ thấy rằng || chính là độ lớn của hình chiếu của trên .

Như vậy, ta có thể hiểu nôm na tích vô hướng của 2 vector là:
Chiếu 1 vector này lên vector còn lại, sau đó lấy độ lớn của vector hình chiếu nhân cho độ lớn của vector còn lại.

Kết quả của tích vô hướng (tiếng Anh: dot product / scalar product) là 1 con số (scalar). Con số này thể hiện sự tương quan về hướng và độ lớn của 2 vector đó.

(Để dễ nhớ phân biệt với tích có hướng, tích vô hướng –> có từ vô hướng –> nghĩa là không có hướng –> kết quả là 1 con số)

Ví dụ:

Ý nghĩa của con số -10 phía trên:

  • Là 1 số âm –> vector A và B ngược hướng nhau.
  • |-10| = 10 (giá trị tuyệt đối) –> càng lớn thể hiện mức độ về độ lớn của vector thành phần (|| = 5, |hình chiếu vector B trên A| = 2). Ta không thể phán xét gì thêm bởi vì 10 có thể bằng 5 * 2 hoặc bằng 1 * 10 hoặc bằng tích của 2 con số nào đó.

Như vậy, tích vô hướng (gọi là D = ) thể hiện ý nghĩa:

  • Tương quan về hướng
    • Giá trị dương (D > 0): 2 vector cùng hướng.
    • Giá trị âm (D < 0): 2 vector ngược hướng.
    • Giá trị bằng 0 (D = 0): 2 vector vuông góc.
  • Tương quan về độ lớn của 2 vector
    • Giá trị càng lớn (|D| lớn): độ lớn của 1 trong 2 vector rất lớn hoặc độ lớn của hình chiếu vector này lên vector kia rất lớn.
    • Giá trị càng nhỏ (|D| nhỏ): độ lớn của 1 trong 2 vector rất nhỏ hoặc độ lớn của hình chiếu vector này lên vector kia rất nhỏ.

Nói cách khác, 2 vector càng giống / tương tự nhau thì tích vô hướng của chúng càng lớn.


Tham khảo thêm về Toán trên minhng.info: